平面図形

例題

円周角の定理

「1つの弧に対する円周角は一定であり，その弧に対する中心角の半分である。」

を証明せよ。

例題　解答

円の弧 に対する円周角を ，中心角を とします。

（１）　中心 が 上に存在するとき，

　　　　 に外角の定理を用いて，

　　　　 　…�@

　　　　このとき， は円の中心なので ， はともに半径となり，

　　　　 は二等辺三角形になる。よって，

　　　　 　…�A

　　　　�@・�Aより，

　　　　したがって，

（２）　中心 が の内側に存在するとき，

　　　　 から中心 を通るような直径を 引くと，

　　　　 に外角の定理を用いて，

　　　　 　…�B

　　　　このとき， は円の中心なので ， はともに半径となり，

　　　　 は二等辺三角形になる。よって，

　　　　 　…�C

　　　　�B・�Cより， 　…�D

　　　　 も同様にして， 　…�E

　　　　�D・�Eより，

　　　　よって，

　　　　したがって，

（３）　中心 が の外側に存在するとき，

　　　　 から中心 を通るような直径を 引くと，

　　　　（１）より，

　　　　　　 　…�F

　　　　　　 　…�G

　　　　�F・�Gより，

　　　　したがって，

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