例題
を定数とする。次の
についての不等式を解きなさい。
(1)
(2)
(3)
例題 解答
(1)
について場合分けをおこなう。
@)
のとき,
両辺を正の定数で割るので不等号の向きは変化しない。よって,
A)
のとき,
両辺を0ので割るのことはできないので代入すると,
となり,すべての実数に対して成り立つ。
B)
のとき,
両辺を負の定数で割るので不等号の向きが変化する。よって,
したがって,
のとき,
のとき,すべての実数に対して成り立つ。
のとき,
(2)
について場合分けをおこなう。
@)
すなわち
のとき,
両辺を正の定数で割るので不等号の向きは変化しない。よって,
A)
すなわち
のとき,
両辺を0ので割るのことはできないので代入すると,
となり不適。
B)
すなわち
のとき,
両辺を負の定数で割るので不等号の向きが変化する。よって,
したがって,
のとき,
のとき,解はない。
のとき,
(3)
の値の範囲によって2次関数
のグラフの概形は変化する。
@)
のとき,
のは下に凸(上に開いた)グラフとなり,
軸との2つの交点は,
となるので,
A)
のとき,
与式に代入して整理すると,
ここで
のとき,
は上に凸(下に開いた)グラフとなり,
軸との2つ交点との位置関係は,さらに場合分けが必要になる。
B)
かつ
すなわち
のとき,
,
C)
かつ
すなわち
のとき,
のグラフは
軸と1点で接する。したがって,
D)
かつ
すなわち
のとき,
,
したがって,
のとき,
のとき,
のとき,
,
のとき,
のとき,
,
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