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背理法 練習問題 解答 Date:2009年 5月21日
練習問題 解答
が無理数でない，すなわち有理数と仮定すると， は1以外に公約数を持たない
2つの自然数 ， を用いて，
と表すことができる。この式を について解くと，
となる。この式の両辺を平方すると，
このことから は偶数，すなわち は偶数となる。
そこで， を自然数として， とすると，
となり，
よって， は偶数，すなわち は偶数となる。
これにより， ， はともに偶数となり，1以外に公約数を持たないことに矛盾する。
したがって， は無理数である。
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が無理数でない，すなわち有理数と仮定すると，
は1以外に公約数を持たない
，
を用いて，
について解くと，
は偶数，すなわち
は偶数となる。
を自然数として，
とすると，
となり，
は偶数，すなわち
は偶数となる。
，
はともに偶数となり，1以外に公約数を持たないことに矛盾する。
は無理数である。
