例題（オイラー線の証明）
の外心を
，重心を
，垂心を
とする。
このとき
，
，
の3点が一直線上にあり，
となることを証明せよ。
例題 解答
の
，
，
の中点をそれぞれ
，
，
とおく。
このとき，中点連結定理より，
…①
…②
…③
また，
が外心であることから，
…④
…⑤
…⑥
となるので，
①・④より
，②・⑤より
，③・④より
となり，
は
の垂心にもなる。
また
で相似比は
と分かるので，
垂心までの長さも
となるので，
…⑦
さらに，
は
の垂心であることから，
であり，これと④より，
となり，錯角が等しくなるので，
と
の交点を
となり，
この相似な三角形ので相似比は⑦より
ここで，
は
が
の中点なので中線となり，
の重心
は
上に存在し，
となるので，
と
が一致する。
よって，
，
，
の3点が一直線上にあり，
と
の相似比より，
となる
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